Método de Ferrari

El método de Ferrari es un método algebraico que se utiliza para resolver de manera analítica cualquier ecuación de cuarto grado, descubierto por el matemático italiano Ludovico Ferrari, con el apoyo de su mentor Gerolamo Cardano. Este método es el primero de varios que tratan acerca de la resolución de ecuaciones de cuarto grado, como los métodos de Descartes, Euler y Lagrange.

Historia breve

Se le acredita a Ludovico Ferrari la solución de la ecuación de cuarto grado en el año 1540, pero desde la solución de esta, como toda solución algebraica de la ecuación cuártica, requiere encontrar la solución de una ecuación cúbica resolvente, por lo que esto no podía ser publicado inmediatamente. La solución de la ecuación cuártica fue publicada junto con la de la ecuación cúbica por Gerolamo Cardano, mentor de Ferrari, en la obra "Ars magna" en 1545.

Estrategia general del método

Forma reducida^[1]​^[2]​^[3]​

Sea la ecuación de cuarto grado

${\displaystyle ax^{4} bx^{3} cx^{2} dx e=0}$,

Su forma reducida es:

${\displaystyle z^{4} pz^{2} qz r=0}$,

donde

${\displaystyle p={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}}$,

${\displaystyle q={\frac {8a^{2}d-4abc b^{3}}{8a^{3}}}}$,

${\displaystyle r={\frac {256a^{3}e-64a^{2}bd 16ab^{2}c-3b^{4}}{256a^{4}}}}$.

Su ecuación cúbica resolvente es

${\displaystyle y^{3} 2py^{2} (p^{2}-4r)y-q^{2}=0}$,

resuelta por el método de Cardano donde ${\displaystyle y}$ es una raíz real de esta, en caso de que la ecuación resolvente tuviere dos o tres raíces reales, se toma como primera prioridad la primera raíz (sin embargo, dicha raíz debe ser positiva como restricción importante).

Al encontrar una raíz de ${\displaystyle y}$, las soluciones de la ecuación de cuarto grado original serán dadas de la siguiente forma:

${\displaystyle x_{1}={\frac {{\sqrt {y}} {\sqrt {-y-2p-{\frac {2q}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}}$

${\displaystyle x_{2}={\frac {{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2p-{\frac {2q}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}}$

${\displaystyle x_{3}={\frac {-{\sqrt {y}} {\sqrt {-y-2p {\frac {2q}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}}$

${\displaystyle x_{4}={\frac {-{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2p {\frac {2q}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}}$

Forma mónica^[4]​^[5]​^[6]​

Sea la ecuación de cuarto grado

${\displaystyle ax^{4} bx^{3} cx^{2} dx e=0}$,

esta se puede reescribir en su forma mónica (al dividir entre ${\displaystyle a}$) como:

${\displaystyle x^{4} Bx^{3} Cx^{2} Dx E=0}$,

donde

${\displaystyle B={\frac {b}{a}},C={\frac {c}{a}},D={\frac {d}{a}},E={\frac {e}{a}}}$.

Su ecuación cúbica resolvente es:

${\displaystyle y^{3}-Cy^{2} (BD-4E)y (4CE-B^{2}E-D^{2})=0}$,

también resuelta por el método de Cardano, en la cual, a diferencia de la resolución con la ecuación cúbica resolvente de la forma reducida, ${\displaystyle y}$ también puede ser una raíz real negativa (es decir, que en la forma mónica se permite que dicha raíz pueda ser un valor positivo o negativo). De dicha raíz se calculan los siguientes dos valores:

${\displaystyle m={\sqrt {{\frac {B^{2}}{4}}-C y}}}$

${\displaystyle n={\sqrt {{\frac {y^{2}}{4}}-E}}}$

Con los valores de ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle n}$ obtenidos, resolvemos dos ecuaciones cuadráticas:

${\displaystyle x^{2} \left({\frac {B}{2}} m\right)x \left({\frac {y}{2}}-n\right)=0}$,

${\displaystyle x^{2} \left({\frac {B}{2}}-m\right)x \left({\frac {y}{2}} n\right)=0}$,

cuyas soluciones constituyen las soluciones de la ecuación de cuarto grado, siendo las siguientes:

${\displaystyle x_{1}={\frac {1}{2}}\left[\left(-{\frac {B}{2}}-m\right) {\sqrt {{\frac {B^{2}}{4}} Bm m^{2}-2y 4n}}\right]}$

${\displaystyle x_{2}={\frac {1}{2}}\left[\left(-{\frac {B}{2}}-m\right)-{\sqrt {{\frac {B^{2}}{4}} Bm m^{2}-2y 4n}}\right]}$

${\displaystyle x_{3}={\frac {1}{2}}\left[\left(-{\frac {B}{2}} m\right) {\sqrt {{\frac {B^{2}}{4}}-Bm m^{2}-2y-4n}}\right]}$

${\displaystyle x_{4}={\frac {1}{2}}\left[\left(-{\frac {B}{2}} m\right)-{\sqrt {{\frac {B^{2}}{4}}-Bm m^{2}-2y-4n}}\right]}$

Véase también

• Transformación de Tschirnhaus
• Cúbica resolvente
• Ecuación de cuarto grado
• Método de Cardano
• Ludovico Ferrari
• Gerolamo Cardano
• Teorema fundamental del álgebra

Referencias